✎☛ Raisonnement par l'absurde

Méthode

On veut démontrer une propriété.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que cette propriété est fausse et aboutir à une contradiction.

Énoncé

Démontrer par l'absurde que  \(\sqrt 2\)  est un nombre irrationnel.

Solution

On suppose que ce nombre est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\)  n'ayant aucun diviseur commun autre que \(1\) , tels que \(\sqrt 2 = \dfrac ab\) .
On a  \(a = b\sqrt 2\)  puis  \(a^2 = 2b\) , ce qui entraîne que \(a^2\) est pair. 

  \(a^2\) est pair implique que \(a\) est pair. (Pour la démonstration, voir la perle Raisonnement par contraposée.)
Donc il existe un entier naturel  \(k\) tel que \(a=2k\) .
D'où \(a^2=4k^2\) .
Et l'égalité \(a^2=2b\) devient \(4k^2=2b\) , ce qui se simplifie en \(2k^2=b\) . Donc \(b\) est pair.

Donc \(a\) et \(b\) sont tous les deux pairs. Ils sont divisibles par \(2\) .
On aboutit à une contradiction puisque   \(a\) et \(b\)   sont supposés  n'avoir aucun diviseur commun autre que \(1\) .
Conclusion :  \(\sqrt 2\)   est un nombre irrationnel.

Méthode

On veut démontrer une propriété qui est une implication P ⇒  Q.
E ffectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que P est vraie et que Q est fausse et aboutir à une contradiction, ce qui entraîne que Q est vraie. (En effet, P vraie et Q fausse est le seul cas où l'implication P ⇒ Q est fausse.)

Énoncé 1

Soit \(x\) et \(y\) deux réels. Démontrer par l'absurde l'implication suivante : « Si \(x^2+y^2=0\) , alors \(x=y=0\) . »

Solution

Supposons que \(x\neq 0\)  ou  \(y\neq 0\) . Alors \(x^2+y^2\) étant une somme de deux quantités positives dont l'une est non nulle, elle est elle-même non nulle, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse  \(x^2+y^2=0\) .

Énoncé 2

Soit \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que \(x\) soit rationnel et  \(y\) soit irrationnel. Démontrer, par l'absurde, que \(x+y\) est irrationnel.

Solution

On suppose que \(x+y\) est  rationnel. On appelle \(z=x+y\) ce nombre.
Comme \(y=z-x\) est une différence de deux nombres rationnels, il est lui-même rationnel, ce qui est contradictoire avec le fait qu'il soit supposé irrationnel.